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問 高校数学の基本問題 内接円の半径 《問題3》(2)
三角形ABCにおいて(CA+AB):(BC+CA):(AB+BC)=5:6:7である.
三角形ABCの内接円と外接円の半径の比を求めよ.

この問を解く過程で、オイラーの不等式に出会いました

オイラーの不等式 R ≥ 2r   R : 外接円の半径   
               r : 内接円の半径

三角形には必ず内接円と外接円があります
内接円の半径を r 、外接円の半径を R としたとき、R は必ず r の2倍以上になるという定理です
正三角形のとき、ちょうど2倍になります
三角形がいびつになるほど3,4倍と増えていきます

オイラーの不等式の証明はこちらです(〜エレガントな高校数学の世界の探求〜

以下、上記問題の解法
オイラーの不等式1

オイラーの不等式2

オイラーの不等式3

オイラーの不等式4
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2014.12.30 1=2
フェルマーの最終定理 (新潮文庫)フェルマーの最終定理 (新潮文庫)
(2006/05/30)
サイモン シン

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巻末の補遺にこんな証明が載っています

まず

a = b

とします

両辺に a を掛けます

a2 = ab

両辺に a2 - 2ab を加えます

a2 + a2 - 2ab = ab + a2 - 2ab

簡略化して

2 ( a2 - ab ) = a2 - ab

両辺を a2 - ab で割ると

2 = 1

なんと 1  =  2  なのです!
もちろんこの証明は間違っているのですが、ちょっと見ただけではわからないでしょう?
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2014.12.13 三角比
三角比についてよくこんな表があります

θ30°45°60°90°
sinθ
01 / 2
1 / √2
√3 / 2
1


θが0°から90°と増えていくに従い、sinθ も増えていくのですが、増え方が一定でないのでよく間違えます

そこで

θ
30°45°60°90°
sinθ√0 / 2
√1 / 2√2 / 2√3 / 2√4 / 2
sinθ01 / 21 / √2√3 / 21

θが0°から90°と増えていくに従い、sinθ は、0から√1ずつ増えていくと考えると、覚えやすいのではないかと思いました

どうでしょうか?

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2014.12.12 因数分解
この因数分解がうまくできなくて苦労していました
因数分解
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2014.11.30 三角形の形状
( b-c ) cos2A = b cos2B - c cos2C

上の式の三角形の形状(二等辺三角形とか直角三角形とか)を調べます

1.まず余弦定理を適応してみます
三角形の性質1
なんだかうまくいきません

2.方針を変えて、正弦定理を適応してみます
 ピタゴラスの定理より cos2θ = 1 - sin2θ を適応してみます
三角形の性質2
すると、式が成立する条件は
(1) b = c の二等辺三角形のとき または
(2) A=120°のとき のいずれかであることがわかります
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2014.11.26 立体角
平面の角度(平面角)を度[°]で表すのに対して
立体の角度は立体角[sr](ステラジアン)で表します

一般的に平面の角度は度数法(一周360°)で表します
度数法

また一般的ではありませんが平面角は弧度法(コドホウ)でも表すことができます
弧度法は数学や工学では便利なのでよく使われます

度数法が円周を360°に分割したのに対して
弧度法は円周を2π(≒6)に分割して扱います
何故2πなのかというと、円周の長さ(2πr)を角度に対応させるとなにかと都合がいいからです
ちなみの単位角=1[rad](ラジアン)は57°くらいになります
弧度法

次に立体の角度を考えてみます
立体の角度は度数法で考えるのは難しく、主に弧度法で表します
平面の場合は円(2次元)の角度を表すのに、円周に対する円弧の長さ(1次元)を角度(平面角)として表しました
立体の場合は球(3次元)の角度を表すのに、円の表面積(4πr)に対する円の面積(2次元)を角度(立体角)として表わします
立法角

ちなみに真横から見た(平面)ときの単位立法角=1[sr]は平面角で64°くらいになります
単位立法角

立体の角度を表すには立体角を使うのが正しいのですが、
立体角は馴染みがないので、立体でも平面と見なして表すことが多いようです
例えばパナソニックのこのLED電球も光の放射方向を300°としています
これには何の断りもありませんが、電球を真横からみて平面とみなした場合の光の放射角度であると想像できます
300°

ちなみに300°を立法角で表すと12[sr]くらいになります
球全体の表面積の14/15くらいになりますが
普段使わない単位なのでわかりにくいと思います
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